Cada nuevo termino en la secuencia de Fibonacci es generada agregando los dos términos previos. Comenzando con 1 y 2, los primeros 10 términos serán:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Encuentra la suma de todos los términos pares en una secuencia que no sobrepase los 4 millones.

Entonces, lo primero que tendríamos que hacer, es poder generar la secuencia de Fibonacci hasta que el último término sea menor que 4 millones. A su vez, debemos controlar si cada término generado es par y si lo es, sumarlo.

Pero ¿podemos evitarnos preguntar si cada termino es par? Miren de cerca la secuencia…
Vamos a poner un regla básica que debemos tener presente:

• par+par = par
• par+impar = impar
• impar + par = impar
• impar + impar = par

Si se fijan a partir del numero 3 de la secuencia, siempre se mantiene constante este patrón: impar, impar, par, impar, impar, par. Entonces, deberíamos poder pensar algo para ir de par en par y saltearnos todos los impares que no nos interesan para el resultado final.

Ahora voy a escribir un poco de letras, espero que no se pierdan.
Supongomos que estamos parados sobre un término par de la secuencia, llamemosle C (que por la definición es la suma de sus antecesores, pongamosle A y B). Estonces este término par:

C=A+B

¿Cuál sería el próximo número? Pues la suma de B+C (llamemosle D). ¿Pero C era igual a la suma de A+B? Sí, entonces el próximo número sería:

D= B+C =B + (A+B) = A+2B

¿Y nos animamos a llegar al que sigue? Pongamosle E y por definición sería la suma de C+D. Entonces:

E= C+D = (A+B) + (B+C) = (A+B) + [B+(A+B)] = 2A+3B

Y ese es nuestro próximo número par en la secuencia!

Partiendo dede el 2 y usando estas fórmulas para ir de par en par, se me ocurre hacer algo así:

main()
{
    int sum = 0, a, b, c=0;
    for(a=1, b=2; c<4000000 ; c=2*a+3*b, a=a+2*b, b=c){
        sum += b;
    }
    printf("%d", sum);
}

Esper no haberlos aburrido ni mareado….ahora les toca a ustedes!

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Proyecto Euler - Problema 2

El enunciado de este problema dice lo siguiente:

Si listamos todos los números naturales debajo de 10 que son múltiplos de 3 o 5, tenemos 3, 5, 6 y 9. La suma de estos múltiplos es 23.

Encuentra la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 debajo de 1000.

Ahora bien, algo bastante común que podemos hacer, que es lo más lógico que nos sale a todos cuando queremos resolverlo, es recorrer todos los números hasta el 1000 e ir controlando que sean divisibles por alguno de esos numeros. Yendo al código (en C++) sería algo así:

main()
{
    int i,r=0;
    for(i; i < 1000; i++){
       if( (i%3==0) || (i%5==0) ){
              r = r + i;
       }
    }
    printf("%d",r);
}

Eso pedaso de código funciona genial y resuelve el problema, pero yo quiero tratar de buscarle otras formas de resolverlo.

Cuando estaba analizando cada número de los que son multiplos de 3 o 5, me encontre con un patron de distancia entre números. Todos los números estan separados por esta serie que se repite por siempre: {3,2,1,3,1,2,3}.

Teniendo esas distancia entre números no hace falta controlar si es o no divisor, solo sumanos y nada más. Es decir: 0+3=3, 3+2=5, 5+1=6, 6+3=9, 9+1=10, 10+2=12, 12+3=15. Los resultados de cada una de estas pequeñas sumas, son esos multiplos de 3 y 5.Y así sigue.

El resultado, podría ser algo así:

main()
{
    int patron[7] = {3,2,1,3,1,2,3};
    int result=0, x=0;
    for(int i=0; i < 1000; i+=patron[x-1] ){
        result += i;
        x = (x==7)? 1 : x+1;
    }
    printf("%d",result);
}

Seguramente, habra formas mas lindas de escribir ese código, pero como ya dije, lo que me gusta de esto es jugar con los números y las cuentas, no tanto si un for es o no más rapido que un while.

Escucho alternativas con gusto!

Conclusión

main()
{
    int patron[7] = {3,2,1,3,1,2,3};
    int result=0, x=0;
    for(int i=0, x=0; i < 1000; i += patron[x], x = (x==6)? 0 : x+1)
       result += i;
    printf("%d\n",result);
}

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Proyecto Euler - Problema 1

Retomando un poquito el enunciado, decía que había que diseñar una estrategía que les permita a las 20 personas en la fila, empezando de la última, decir que color de sombrero tenían sin nunca verlo, pero si viendo todos los de adelante.

¿Y cual es mi estrategía? Enmascarar el color de sombrero de la persona de adelante en cada respuesta. ¿Ehh!? Que no panda el cunico, que ahora lo hago más gráfico.

Cuando le pregunto a la primer persona (él último de la fila segun el enunciado) sobre que color de sombrero tiene obviamente no sabe. Pero lo que si sabe es el color del sombrero de la persona que está delante y la estrategía consiste en incluir en la respuesta de esa persona (la 20°) algo para indicarle a la persona que esta delante el color de su sombrero. Así comienza.

Una forma de incluir el color del otro en mi respuesta sería por ejemplo dudar, es decir: “uhmm Blanco”. Entonces la persona que esta delante y esta al tanto de la estrategía al escuchar el “uhmm” sabe que ese tambien es el color de su sombrero. Si la respuesta hubiera sido simplemente “Blanco”, la persona que esta delante sabría que su sombrero es Negro.

Hagan un ejemplo con las primeras 5 personas a las que les preguntamos el color y para empezar, pongamosle un sombrero a cada una:

• la 20° Negro
• la 19° Blanco
• la 18° Negro
• la 17° Negro
• la 16° Blanco

Cuando le pregunto a la numero 20 entonces, me dira “uhmm blanco” (entonces ya el 19° sabe que su sombrero es blanco). Paso al 19°, me respondera “Blanco” (y el 18° ya sabe que su sombrero es negro). Paso al 18° y me contesta “uhmm Negro” (y la persona que esta delante sabe que su sombrero es negro). El 17° me dice “Negro” (y otra vez el 16° sabe que su sombrero es blanco). Y asi podríamos seguir hasta el primero.

El problema admite solo un error en el trayecto, y es el posible error del último, que no escucha ninguna respuesta previa, y solo le transmite el color al que esta delante con “uhmm….”. Y el error es solo posible, ya que tambien podría coincidir su color con el color de adelante y entonces 100% de efectividad. ¿Interesante no?

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Solución al problema de sombreros

El problema es el siguiente:

Hay 20 personas dispuestas en una fila (como si uno estuviera haciendo cola para comprar entradas en un cine). En la fila, digamos que cada persona puede ver a las que tiene delante, pero no a las que tiene detrás. Cada una de ellas lleva un sobrero que, como es de esperar, puede ser o bien blanco o bien negro.

El último entonces, puede ver los sombreros de todos, menos el suyo. El que esta en la posición 19, solo ve los sobreros de las 18 personas que tiene delante, y no ve el suyo ni el de la persona que esta detrás. Y siguiendo, el primero, no ve ningun sombre, ni siquiera el propio.

Voy a empezar a preguntarle a cada uno de los que está en la fila (empezando por el que está en e lugar 20) de qué color es su sombrero. A medida que contesten, le pregunto al siguiente hasta llegar al primero. Mientras tanto nada digo sobre si las respuestas son correctas o incorrectas, pero todos escuchas todas las respuestas.

El problema consiste en que las veinte personas diseñen una estrategia que les permita decidir que color de sombrero tienen…¡y sólo se les permite errar, a los sumo, una vez! Es decir: antes de formar la fila, deben elegir un método (conocido y acordado por todos) de manera tal que, cuando yo les preguna que color de sombrero tienen, cada uno pueda contestar correctamente, admitiendose sólo un error en el trayecto.

Parece un problema desafiante, de hecho lo es, pero les aseguro que para llegar a esa estrategía no hace falta nada más que buen ingenio

La solución, al rato…

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Problema de sombreros

El Proyecto Euler es una serie de retadores problemas de matemática/programación que requerirán mas que un poco de conocimientos de matemáticas para resolver. Aunque las matemáticas te ayudarán a tener métodos elegantes y eficientes, el uso de la computadora y habilidades de programación son requeridos para resolver la mayoría de los problemas.

La matemática es una materia que me encanta, y este tipo de problemas son una debilidad y no va a ser la primera vez que escribo algo. Pero ahora me enganche tanto, que planeo ir resolviendo todos los problemas que pueda y dejando solución tras solución en el blog y esperando que todos ustedes se animen a sugerirme y a corregirme para ir llegando cada vez más cerca a la solución más optima, ya que el proyecto propone que:

Cada problema ha sido diseñado teniendo en cuenta la “regla del minuto“, que signifique que por más que lleve varias horas diseñar un algoritmo capaz que resolver hasta el problema más complicado, una implementacion eficiente te permitirá obtener la solución en menos de un minuto.

Como primer paso, siempre que se pueda utilizaré un poco fuerza bruta hasta llegar a la solución y de ahi en adelante, pensaremos formas de llevar la solución hacia la forma más optima, más rapida y con menos trabajo para la computadora. En el problema 4 de Pablo, fuimos desde un algoritmo a fuerza bruta que demoraba 70 segundos mili-segundos en darnos la solución, a otro mucho más eficiente que demoraba apenas 2 segundos mili-segundos y solo aplicando un par de nociones matemáticas. De eso se trata.

Soluciones y discusiones

• Problema 1: Encuentra la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 debajo de 1000.
• Problema 2: Encuentra la suma de todos los números pares en una secuencia de Fibonacci que no pase los 4 millones.

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Proyecto Euler

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Alternativas a la hora de multiplicar

Debo ser sincero y decir que no pude resolverlo todavía, y al querer pasar a la siguiente historia del libro, pude observar que la respuesta tiene algo así como 4 páginas del libro, lo que me dejó tecleando…

Enunciado: Se tienen 12 monedas iguales en apariencia, pero una de ellas pesa distinto que el resto. Con todo, no se sabe si pesa más o menos, sólo que pesa diferente. El objetivo es descubrirla. Para ellos, se cuenta con una balanza de dos platillos. En realidad, es una balanza muy sencilla que sólo detecta si lo que se pone en uno de los platillos pesa más, igual o menos que lo depositado en el otro. Nada más. Para descubrir la moneda distinta se pueden efectuar sólo tres pesadas.

Eso es todo, y Adrián se pregunta:

• ¿Se puede?
• ¿Tiene solución? ¿Cuál es?

(CC) Victor Bracco 1984-2010.

Problema de las 12 monedas